Kombinatorik Mit Reihenfolge mit Wdh.? - OnlineMathe - das mathe-forum (2024)

mich wurmt hier beim Lernen folgende Aufgabe:

An einer Steckdose mit ${\displaystyle 12}$ Klemmen für je einen Draht sollen 3 Drähte angeschlossen werden.
${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Da es sich um eine Variation ohne Wiederholung handelt, habe ich mit der ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace></mspace>}!}{(\mathrm{n<mspace></mspace>}-\mathrm{k<mspace></mspace>})!}}$ Formel ebendafür gerechnet und kam auf das schöne Ergebnis ${\displaystyle 1320}$. Das ist denke ich mal richtig und auch nicht schwer.

${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>})}$ Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn die Drähte paarweise markiert sind?
Ich muss also Paare bilden. 3 Kabel hab ich insgesamt zur Verfügung. Die Möglichkeiten an Paaren sind also 9. ${\displaystyle \left({\mathrm{n<mspace></mspace>}}^{\mathrm{k<mspace></mspace>}}\right),}$ in diesem Fall ${\displaystyle 3^2}$. Ich habe also 9 Möglichkeiten Paare zu bilden, die dann aus einem 2er Paar bestehen.
Ich habe also ${\displaystyle 12}$ Klemmen und 9 Möglichkeiten an Drahtkombinationen. ${\displaystyle \mathrm{D<mspace></mspace>}.\mathrm{h<mspace></mspace>}.:}$ ich rechne jetzt ${\displaystyle \frac{12!}{(12-9)!},}$ das wären dann aber ${\displaystyle \mathrm{7,98}\cdot {10}^7}$. Ein bischen viele Möglichkeiten.

Meinem Verständnis nach müssten die Möglichkeiten aber sinken, da ich ja anstatt 3 wahllosen Kabeln die ich wahllos anschließe jetzt einmal 2 und einmal 1 habe.

Kann mich jemand entwirren und mir meinen Denkfehler erklären?

Liebe Grüße und danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

${\displaystyle >\mathrm{a<mspace></mspace>})}$ Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Kommt drauf an, wie man das verstehen möchte. Die ${\displaystyle 12}$ Klemmen wird man wohl als unterscheidbar annehmen. Die Frage ist jetzt nur, ob es bloß darauf ankommt, welche der ${\displaystyle 12}$ Klemmen angeschlossen sind, oder ob die drei Drähte unterscheidbar sind und es darauf ankommt, welcher der Drähte an welcher Klemme hängt.
Dein Ergebnis ist jenes für den zweiten Fall. Im ersten Fall käme nur ${\displaystyle 220}$ raus.

${\displaystyle >\mathrm{b<mspace></mspace>})}$ Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn die Drähte paarweise markiert sind?
Da ist mir die Angabe unklar. Was soll das heißen "drei Drähte sind paarweise markiert"? Soll das bedeuten, dass von den drei Drähten zwei die gleiche Farbe haben und daher nicht unterscheidbar sind? Dann wäre dein Ergebnis von ${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ einfach zu halbieren.
Und wie ist deine Anzahl 9 zu interpretieren?

Ja, ich habe die ${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>})}$ so verstanden, dass ich

Kabel grün Kabel grün und Kabel rot

habe. Die 9 habe ich errechnet, weil ich wir ja gar nicht wissen, in welcher Kombination diese Paare generiert wurde. Also aus drei Kabeln/Drähten kann ich insgesamt 9 verschiedene Kombis aus zweier Paaren machen.
Kabel 1: Grün ${\displaystyle 1+}$ Kabel 2:Grün 2
Kabel 3: Grün ${\displaystyle 2+}$ Kabel 1:Grün 1
etc.

So erklärt sich die 9. Was ich damit genau tun soll oder ob das sinnvoll war so zu rechnen stellt sich mir selbst in Frage.

Könntest du bei der ${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ nochmal erklären, richtig für Dummies, wieso du da auf ${\displaystyle 220}$ kommst.

Ich war in der Wiedergabe der Fragestellung nicht ganz genau:
${\displaystyle \left(\mathrm{P<mspace></mspace>}94\right)}$ An einer Steckdose mit zwölf Klemmen für je einen Draht sollen drei Drähte
angeschlossen werden.
${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, die (nicht unterscheidbaren) Drähte auf die Klemmen
zu verteilen?
${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>})}$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Dräahte paarweise verschieden markiert sind?
${\displaystyle \mathrm{c<mspace></mspace>})}$ Jeweils zwei der Klemmen führen zum selben Kontakt. ¨
Wie viele Möglichkeiten aus ${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ fuhren zum Kurzschluss?

Vielleicht wäre es möglich noch einen Anreiz zur ${\displaystyle \mathrm{c<mspace></mspace>})}$ zu geben? Nachdem die ${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>})}$ nochmal erklärt wird.

Danke und liebe Grüße

${\displaystyle >}$ Ich war in der Wiedergabe der Fragestellung nicht ganz genau:
Ach du meine Güte!!!! Da ist jetzt aber vieles ganz anders!

${\displaystyle >\mathrm{a<mspace></mspace>})}$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, die (nicht unterscheidbaren) Drähte auf die Klemmen
zu verteilen?
dann ist deine Lösung leider falsch, denn es handelt sich hier schlicht um die Wahl von 3 Klemmen von ${\displaystyle 12,}$ ohne dass es auf deren Reihenfolge ankommt und ohne, dass eine Klemme mehrfach gewählt werden darf.

${\displaystyle >\mathrm{b<mspace></mspace>})}$ Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Drähte paarweise verschieden markiert sind?
Das "verschieden" hattest du unterschlagen. Das bedeutet nun, dass zB jeder der drei Drähte eine von allen anderen verschiedene Farbe hat, die Drähte jetzt also unterscheidbar sind.
Du hast Glück, denn deine falsche Lösung von ${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ passt hier genau und die Überlegung von ganz oben, dass zwei Drähte gleichfarbig sind, ist somit obsolet.

${\displaystyle >\mathrm{c<mspace></mspace>})}$ Jeweils zwei der Klemmen führen zum selben Kontakt. Wie viele Möglichkeiten aus ${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ fuhren zum Kurzschluss?
Die Aufgabe wir ja immer blöder. Das Hängt doch davon ab, was sich am anderen Ende der drei Drähte abspielt. Wenn ich zB zwei Phasen zusammenschalte, so ist das doch kein Kurzschluss.
Gemeint ist halt die WKT dafür, dass zwei der drei nicht unterscheidbaren Drähte am gleichen Kontakt hängen.
Du könntest dir da einen WKTs-Baum aufzeichnen.
Der erste Draht ist noch egal.
Für den zweiten gibst die Möglichkeit, dass du den gleichen Kontakt wie beim ersten Draht erwischt oder eben nicht. Gib für die beiden Zweige die WKTen an.
Jetzt verweigt sich die Sache weiter für den dritten Draht:
Falls mit dem zweiten Draht der gleiche Kontakt erwischt wurde, ist der weitere Verlauf unerheblich, wie haben schon unseren "Kurzschluss". Andernfalls gibts nun zwei Möglichkeiten, mit dem dritten Draht einen Kurzschluss zu erzeugen.
Du kannst die Aufgabe aber auch leicht mit der Gegenwahrscheinlichkeit lösen.
Also die WKT ermitteln, dass kein Kurszschluss entsteht.
Der erste Draht ist kein Problem, der zweite Draht darf eine bestimmte Klemme nicht erwischen und für den dritten Draht sind zwei Klemmen tabu.

Zu deiner Kontrolle: ${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace>}(\mathrm{k<mspace></mspace>}\mathrm{e<mspace></mspace>}\mathrm{i<mspace></mspace>}\mathrm{n<mspace></mspace>}\mathrm{K<mspace></mspace>}\mathrm{u<mspace></mspace>}\mathrm{r<mspace></mspace>}\mathrm{z<mspace></mspace>}\mathrm{s<mspace></mspace>}\mathrm{c<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\mathrm{l<mspace></mspace>}\mathrm{u<mspace></mspace>}\mathrm{s<mspace></mspace>}\mathrm{s<mspace></mspace>})=\frac{3}{11}\approx \mathrm{27,27}\%}$